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【キーワード】 極限


項目
ID⇒#1053
キーワード極限
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品詞
内容

f(x)=x+1という関数を考えてみましょう。
(xに1を足す)

x = 2 のとき、f(x) = 3
x = 1.1 のとき、f(x) = 2.1
x = 1.01 のとき、f(x) = 2.01
x = 1.001 のとき、f(x) = 2.001
x = 1.0001 のとき、f(x) = 2.0001

このようにxを限りなく1に近づけると、f(x)も限りなく2に
近づきます。このようなとき、
「xを1に近づけたときのf(x)の極限は2である」と
高校では教えます。

でも、この「限りなく」という言葉は数学的に見て
あまりに厳密性にかけます。

そこで、f(x)から2を引いた誤差、f(x)-2を±0.1以下にするには、
x-1をいくつ以下にすれば良いかを考えることにします。
そう、x-1を±0.1以下にすれば、f(x)-2も±0.1以下にできますね。

つまり、f(x)-2を±e以下にするには、
そう、x-1を±e以下にすれば良いのです。

f(x)=x+1では、最初からx=1の値が計算できてしまうので、
こんな議論は無意味なように思えます。

では、g(x)=(x*x-1)/(x-1)という関数を考えてみましょう。
(「xを自乗して1引いた値」を「xから1引いた値」で割る)

こちらの方は、x=1を代入しようとすると、「xから1引いた値」が
0になってしまい、0で割ることはできないので、
x=1の近傍で、g(x)がどんな値になるか直接答えが求まりません。
でも、

x = 2 のとき、g(x) = 3
x = 1.1 のとき、g(x) = 2.1
x = 1.01 のとき、g(x) = 2.01
x = 1.001 のとき、g(x) = 2.001
x = 1.0001 のとき、g(x) = 2.0001

となり、g(x)-2を±e以下にするには、
やはり、x-1を±e以下にすれば良いことが想像できます。

いかような誤差eを与えられようとも、
それに対応するxの範囲を決定できるとき、
その関数g(x)は極限値を持つ、と言います。

これが微積分の基礎をなす「ε-δ論法」です。
この論法では「限りなく」でごまかさず、
「誤差の程度」をきちんと議論するのです。

関数の値などが代入などによってダイレクトに評価できないとき、
誤差の範囲を狭めていって関数の性質を調べてゆく・・・

これが極限の考え方です。



参考書籍…山形大学附属図書館
(1) 松本栄一写真, 極限の高地チベット世界, 小学館, (1988.3).
(2) 細野真宏著, 細野真宏の極限が本当によくわかる本 : 数III, 小学館, (2003.7).
(4) 国澤清典, 確率論に於ける極限定理, , (2022/07/05 23:47:52).
(5) 能代清, 極限論と集合論, , (2022/07/05 23:47:52).
(6) 倉西正嗣, 極限設計法, , (2022/07/05 23:47:52).
(7) 倉西正嗣, 極限設計法, , (2022/07/05 23:47:52).
(8) 日本材料科学会, 極限状態と材料, , (2022/07/05 23:47:52).
(9) 福田敏男, 極限作業用知能ロボット, , (2022/07/05 23:47:52).
(10) 國沢清典, 確率論に於ける極限完理, , (2022/07/05 23:47:52).
(11) 竹内瑞三, 極限論, , (2022/07/05 23:47:52).
(12) 酒井角三郎, 極限の論理, , (2022/07/05 23:47:52).
(13) 本田勝一, 極限の民族, , (2022/07/05 23:47:52).
(14) 本田勝一, 極限の民族, , (2022/07/05 23:47:52).
(15) , 極限状態の物理, , (2022/07/05 23:47:52).
(16) , 極限状態の物理, , (2022/07/05 23:47:52).
(17) , 小野勇作 無理数と極限, , (2022/07/05 23:47:52).
(19) D.A.ワートン著 : 掘越弘毅訳 : 浜本哲郎訳, 極限環境の生命 : 生物のすみかのひろがり, シュプリンガー・フェアラーク東京, (2004.12).
(20) D.A.ワートン著 : 掘越弘毅訳 : 浜本哲郎訳, 極限環境の生命 : 生物のすみかのひろがり, シュプリンガー・フェアラーク東京, (2004.12).
(21) 斎藤敏昌著, 極限の不思議, 新風舎, (2004.8).
(22) 鎌田慧著, ロボット時代の現場 : 極限の合理化工場, 三一書房, (1982.10).
(23) 鎌田慧著, ロボット時代の現場 : 極限の合理化工場, 三一書房, (1982.10).
(24) 山崎圭次郎, 有馬哲, 片山孝次編著, 微分・積分入門 : 極限から微分方程式まで, 実教出版, (1998.4).
(25) 山崎圭次郎, 有馬哲, 片山孝次編著, 微分・積分入門 : 極限から微分方程式まで, 実教出版, (1998.4).
(26) 能代清著, 極限論と集合論, 岩波書店, (1970.11).
(27) 伊達宗行著, 極限科学 : 強磁場の世界, 丸善, (1993.1).
(29) 田中敬一著, レーザと計測 : 極限への挑戦, 共立出版, (1983.11).
(30) 田中敬一著, レーザと計測 : 極限への挑戦, 共立出版, (1983.11).
(31) 那野比古著, 知能ロボットの驚異 : 極限に挑む「移動型」最前線, 日本経済新聞社, (1985.9).
(32) 足立俊明著, 数列の極限と1変数関数の微分積分, 培風館, (1997.5).
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